在電子電機領域，只要有稍微設計過電源的工程師，一定會知道電容的重要性。電容元件在電路設計中扮演著至關重要的角色，幾乎所有電子產品都離不開它。晶片的Data sheet、Design guide都會詳細說明在哪個Pin腳要放上0.1uF的電容做Bypass，這些電容可以有效過濾外界來的雜訊，確保信號的穩定性和可靠性；或是在電源Pin腳附近以及正下方要放置一堆Decoupling Cap（去耦電容），這樣的設計是為了防止當晶片快速抽載時，源頭的電壓調節模組（VRM）供電來不及反應。在這種情況下，這些DeCap可以當作臨時的電池使用，瞬間供應所需的電流給晶片，保持晶片在各種工作條件下的穩定運行，避免電壓驟降導致的系統不穩定或甚至是功能失效。

就像這張圖，電流瞬間衝高，這麼高頻的突波，靠著DeCap來短暫穩定電壓，當電流穩定之後，頻率轉到低頻，電壓變化就會趨穩，此時晶片就可以順利地拿到VRM供應的電流：

電容是如此地重要，在PI分析上我們要怎麼處理它呢？

電容的等效模型 – 串聯諧振

我們在【PI 思維升級】PI設計的典範轉移：從阻抗思維到諧振控制這篇文章中，已經有簡單帶過理想電容的頻率響應：

\large Z_{C}=\frac{1}{2\pi fC}

\large C=\frac{1}{2\pi fZ_{C}}

真實電容器當然不可能這麼完美，正常狀況下，真實電容器可以被等效成RLC的串聯模型，這個R又稱作ESR(Equivalent Series Resistance)，指的是電容元器件的引腳與內部金屬貢獻的導體電阻(例如圖中的Copper Electrode)；L又可以稱作ESL(Equivalent Series Inductance)，為整個金屬導電路徑的雜散寄生電感。

串聯諧振的阻抗長相就如同下圖，引用前篇文章提到的：在串聯電路上低頻的表現由開路電路來主導，而電容低頻屬於高阻抗(開路Open)，所以可以看到低頻時阻抗曲線在左上角。而隨著頻率越來越高，電容抗會下降，電感抗會跑出來，兩條曲線會交叉在一起，這個就是諧振頻，這是整個電路剩下電阻。再往更高頻走，電容阻抗持續下降，電感阻抗繼續攀升，就會變成整個阻抗曲線像個V字型！

透過SNP模型萃取等效RLC

實務PI分析上，我們會需要跟電容供應商，尤其是MLCC廠商拿到實際測試的電容模型，這裡首推日本村田Murata(連結在這裡)，他們家的電容模型一直都是業界最領先的，資料庫最整齊，幾乎所有型號都有測試資料，也有SNP與SPICE模型可以下載：

我們隨意拿一顆0402 22nF的MLCC來做舉例：

電容器 – 電容的萃取

低頻的負斜率曲線是由電容所貢獻，我們可以在這個區間抓一個頻率點，通常我們會建議抓10MHz，在這點的阻抗以這顆電容是2.15Ohm，換算一下就可以得到電容值為20.8nF。

或許你的第一個問題就來了，說好的22nF呢？

別意外，通常這種方法萃取出來的電容值都會偏小一些，這原因跟頻率點有關，如果抓得越低頻，這個容值就越準，因為越往高頻多少還是會有一些ESL跑出來影響萃取，各位可以自己去抓這個頻率，我們純粹覺得用10MHz抓，整體曲線比較接近罷了。

\large C=\frac{1}{2\pi \times 10MHz \times 2.15Ohm}=20.8nF

有興趣也可以去比對一下，你用的電容是什麼等級的電容，如果是Tolerance很高的，例如20%，那容值範圍很大，其實萃取出來跑到比較低的容值也不太意外！

電容器 – 電感的萃取

串聯諧振的高頻是由電感所主導，計算上可以透過已知的諧振頻率點與電容值求解：

\large f_{res}=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}

\large L=\frac{1}{4\pi^2 f_{res}^2 C}

諧振頻率約莫在56MHz，電容值以上面求得為20.8nF，這樣可以得到電感ESL為0.39nH。

\large L=\frac{1}{4\pi^2 \times 56MHz^2 \times 20.8nF}

電容器 – 電阻的萃取

電容器的串聯電阻ESR，其實就是諧振頻率這點的阻抗值，因為在這個頻率點，電感抗與電容抗會相互抵銷，串聯電路只剩下電阻。

最後我們將萃取出來的RLC串接，並且與實際這個電容模型的測試結果做比對，Bingo，應該還不賴吧？

雖說我們前面有提到，這個方法萃取出來的電容值可能與實際測試會有一些落差，不過其實是還在可以接受的範圍內的，會擔心的人可以將電容值利用實際電容器的規格帶入，將電容值設定成22nF，電感值也會跟著改變一些些，也是可以得到不錯比對結果，各位可以試看看。

我們在PI分析時反而會更喜歡使用這種RLC的模型，原因是這種模型的彈性非常地大，雖然或多或少與實際的結果有些落差，可是我們可以很輕易地在軟體裡Sweep RLC，可以得到PDN阻抗隨著不同電容Tolerance的變化，我們已經不只一次強調(尤其是在高速時代人人都該懂的SI：系統級分析7大關鍵步驟，一篇搞定！一文中)Tolerance對於系統SI/PI設計的重要性，能在分析時把這些參數考慮進去，對於系統的可靠度分析是非常有幫助的。

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